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为了高效计算给定的递归函数f(x)的和，我们可以将其分解为两个预处理数组，从而优化计算过程。以下是详细的分析和解决方案：
问题分析
我们需要计算一个递归函数f(x)的和，并对其进行幂运算和模运算。由于直接计算会导致时间复杂度过高，我们需要一种优化方法。
递归函数f(x)的定义
f(1) = 1
对于x > 1，f(x) = (a * f(x-1) + b) mod m
这表明f(x)遵循一个线性递推关系，可能导致快速增长。
需要计算的表达式
计算S = A^{f(1)} + A^{f(2)} + ... + A^{f(n)} mod p
直接计算每个f(x)并求幂会导致计算量过大，特别是当n很大时。
优化方法
我们可以将计算分解为两个部分，利用快速幂和模运算的性质来优化：
预处理数组sum1和sum2：
- sum1[i] = A^i mod p
- sum2[i] = A^{1e5 * i} mod p这里，M = 1e5，是一个合理的模数。
分解f(x)的计算：f(x) = a * f(x-1) + b mod m
这个递推关系可以分解为：f(x) = a^{x-1} * (a + b) - b但由于模运算的性质，我们可以将其表示为：f(x) = a^{k} * x + b * (a^{k} - 1) / (a - 1)通过这种分解，我们可以利用预处理数组sum1和sum2来计算每个f(x)。 计算总和：S = sum_{x=1}^{n} A^{f(x)} mod p
由于f(x) = a^{k} * x + b，我们可以将其分解为：A^{f(x)} = sum1[i] * sum2[j] mod p其中，i = f(x) mod M，j = f(x) / M这样，总和可以分解为sum1和sum2的和，避免了直接计算每个f(x)的高复杂度。 代码实现
以下是实现这一优化的代码：
#include #include #include #include #include #include
解释
预处理数组：
sum1[i] 计算A的i次幂模p。sum2[i] 计算A的1e5次幂模p的i次幂。这样，sum2[i]实际上是A^{1e5*i} mod p。
递归函数f(x)的计算：
- 对于每个x，计算f(x)并分解为i和j，分别表示模M的部分和高位部分。
- 然后，利用预处理数组sum1和sum2来计算A^{f(x)} mod p。
总和计算：
- 遍历每个x，计算对应的A^{f(x)} mod p，并累加到总和中。
- 由于预处理的sum1和sum2数组已经预先计算，单次循环的时间复杂度为O(n)。
这种方法通过预处理和分解，显著减少了计算量，使得问题在合理的时间内解决。
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